Trabajo Geometría

Índice: 

1. El triángulo

2. Lugares geométricos 

3. Movimientos en el plano

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas

5. La esfera y el globo terráqueo

6. Bibliografía

1. El Triángulo
1.1. Propiedades y tipos de triangulo

Los triángulos son figuras geométricas de tres lados que tienen estas propiedades:

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

a + b + c =180º

3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

a= a+b

a=180 - c

4. En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo

5. Los ángulos de dos lados iguales también son iguales.

Los triángulos se pueden clasificar según:

- Sus lados:

Equiláteros: tienen tres lados iguales cuyos ángulos miden 60º.

Isósceles: tienen dos lados iguales y uno desigual.

Escaleno: tienen tres lados desiguales.

- Sus ángulos: 

Rectángulo: tiene un ángulo de 90º
Acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.
Obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.

1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma.Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo.Una bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales) 

El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo.Una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma que la de el radio de dicha circunferencia. En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo Una mediatriz es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo.

El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo Una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice.

Applet de Geogebra donde se puede ver:

1.3 Teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente: 

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

1.3.1 Demostración gráfica

1.4 Teorema de Tales

El teorema de Tales dice que si 2 rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondiente de la otra.

Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos.

Además, Si sabemos la altura de un edificio y lo que mide su sombra, podemos calcular la altura de un árbol a partir de una regla de tres, aplicando el teorema de Tales.

Aquí se puede ver un vídeo donde se explica el Teorema de Tales con una canción:

2. Lugares geométricos

2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?

Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano  y en términos del valor de un ángulo.

En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos.

2.2 La mediatriz y la bisectriz

Mediatriz: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.

Bisectriz : Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las semirrectas que forman el ángulo.

2.3 Las cónicas

Se denomina cónica a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola,hipérbola y circunferencia.

Circunferencia:se obtiene al cortar el cono con un plano de forma paralela a la base.

Elipse:se obtiene al cortar el cono de forma secante a los lados del cono, tal y como se ve en la imagen.

Hipérbola: se obtiene al cortar de forma perpendicular a la base los dos conos.

Parábola: se obtiene al cortar de forma paralela al lado del cono y que pase por su base.

3. Movimientos en el plano.

3.1 Las traslaciones. ¿Qué es un vector?

Una traslación desplaza cada punto de una figura o espacio la misma cantidad en una determinada dirección. En matemáticas se define un vector como un segmento de recta, contando a partir de un punto del espacio, cuya longitud representa a escala una magnitud, en una dirección determinada y en uno de sus sentidos.

3.2.1 Dados los vectores u=(4,3) y v=(-1,4), hallar: 

a) su representación gráfica en un sistema de coordenadas 

b) los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo 

c) las componentes de los vectores anteriores 

d) el módulo de cada uno de los vectores  

3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u(4,3):

3.4.1 Dado el triángulo de vértices A(-2,2), B(6,-1) y C(7,5) se pide: 

a) dibujar el triángulo 

b) hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O(0,0) 

c) hallar el triángulo simétrico respecto del eje OX 

3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.

3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.

Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B. 

3.5 Frisos, mosaicos y cenefas 

Un friso es la aplicación sucesiva de una traslación a una misma figura , estos también reciben el nombre de cenefas. Un mosaico es todo recubrimiento del plano mediante piezas (teselas) que no pueden superponerse ni pueden dejar huecos. Existe una infinidad de tipos de mosaicos, pero los más simples son los basados en un único tipo de pieza, aunque esta pueda tomar diferentes colores o matices.

3.6 MC. Escher 

Maurits Cornelis Escher nació en 1898 en los Países Bajos. Se caracteriza por hacer grabados y obras cuyas formas son imposibles. Crea cuadros de color sepia y en blanco y negro, y juega con las formas engañando al cerebro humano. Sus obras más importantes son:

1. Drawing Hands

2. Waterfall

3. Relativity 

4. Day and Night

4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas 

5. La esfera y el globo terráqueo

5.1 Elementos principales de la esfera
Centro: Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio: Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro.

Polos: Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre. 

Los paralelos son circunferencias perpendiculares al eje terrestre, con orientación este-oeste, que dependiendo de su ubicación tienen una extensión variable. El Ecuador o paralelo cero grados es el de mayor extensión, divide a la Tierra en dos hemisferios: el Septentrional y el Austral. A partir del Ecuador, se establecen 90º hasta el polo norte y 90 grados hasta el polo sur.

Los meridianos son semicircunferencias que comienzan y terminan en los polos. A finales del siglo XIX, se determinó que el meridiano cero grados es el que pasa por el observatorio astronómico de Greenwich, cerca de Londres, dividiendo el planeta en los hemisferios: Occidental y Oriental.

La latitud es la distancia de un lugar con relación al paralelo del Ecuador. El polo norte tiene una latitud de 90¼ norte, mientras el sur está en la latitud 90¼ sur.

La longitud es la distancia que separa un punto del globo del meridiano de Greenwich. Al igual que los meridianos, la longitud también se mide en grados, puede ser hasta de 180° este o 180° oeste.

5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial. 
Los husos horarios o zonas horarias son cada una de las veinticuatro áreas en las que se divide la Tierra. Esta gira alrededor de su eje una vez cada 24 horas, por lo que se establecen 24 husos horarios.

Todos los husos horarios se definen en relación al Tiempo Universal Coordinado (UTC), por lo que se centran en el meridiano de Greenwich (0º). Al pasar de un huso horario a otro en dirección Este hay que sumar una hora y por el contrario, al pasar de Este a Oeste hay que restar una hora.

Hora oficial – Es la hora que marcan nuestros relojes. En la España peninsular la diferencia con respecto a la hora UTC es de una hora de adelanto (o de dos en el horario de verano). [La Hora legal suele ser la que corresponde al “huso horario” en que se encuentre la mayor parte del pais, para el caso de la España peninsular es el UTC+0 coincidente con la hora UTC, la Hora oficial (que determina el gobierno) añade una hora (o dos en el horario de verano) a la Hora legal.]

Hora solar - Es la hora real (no la media anual como lo son las horas anteriores: oficial, legal, UTC y civil), es decir, son las 12 del mediodía cuando el Sol está en el cénit (lo más alto). Es la hora que marca un reloj de sol. Esta Hora solar no coincide, excepto cuatro días al año, con la Hora civil (que es una media), debido a las fluctuaciones, en el tiempo, de la duración de los días en el ciclo de un año. Las fluctuaciones que pueden llegar a ser de hasta 30 segundos diarios en relación con las 24 horas exactas, y que al acumularse, se plasman en una diferencia horaria máxima de unos 16 minutos a principios de noviembre. 

5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre.

Trabajo de funciones

Conceptos básicos

 1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo

Con una función

2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:

Una función es una correspondencia numérica en la que a cada elemento del conjunto inicial se le asigna un único elemento denominado imagen del conjunto final.

El conjunto inicial recibe el nombre de dominio de una función y el conjunto formado por todas las imágenes el de recorrido de la función.

Tres ejemplos de funciones son: el consumo de energía eléctrica  con su costo , el lanzamiento de un balón , la duración de una vela.

Para expresarlo podemos utilizar:

- Una gráfica
- Una tabla de valores de una función 
- Una ecuación

3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder. 

-Es el incremento de una función, que mide lo que cambia al pasar de un punto a otro. En las crecientes, toma un valor superior a 0 (positivo), y, en las decrecientes, toma un valor menor a 0 (negativo).

4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos. 

Máximo relativo: es el segundo valor de (y) más alto

Mínimo relativo: es el segundo valor de (y) más alto 

Máximo absoluto: es el valor de (y) mas alto 

Mínimo absoluto: es el valor de y más bajo

5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría. 

Existen dos tipos de simetría. Las funciones pares son simétricas respecto al eje de ordenadas. En cambio, las funciones impares son simétricas respecto al origen de coordenadas.

 Una función es par si f(x) = f(-x) 

y es impar si f(x) = -f(-x) 

6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.

Una función es una función periódica si los valores de la variable dependiente se repiten conforme se va añadiendo a la variable independiente un determinado período.

Por ejemplo: en la vida diaria existen muchos casos de funciones periódicas cuando la variable es el tiempo; situaciones como el movimiento de las manecillas de un reloj o las fases de la luna muestran un comportamiento periódico. Un movimiento periódico es un movimiento en el que la posición(es) del sistema se pueden expresar en base a funciones periódicas, todas con el mismo período. 

7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?

Función continua: función que no presenta saltos en la gráfica 

y se puede realizar con un solo trazo.

Función discontinua: función que presenta saltos en la gráfica y no se puede realizar con un solo trazo.

8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función? 

El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII.René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler  en 1736.

Estudio y representación de funciones

9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas. 

Función lineal creciente 

Función lineal constante 

Función lineal decreciente

Rectas paralelas 

Función cuadrática cóncava

Función cuadrática convexa 

Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones : Cosenos

10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto que forma parte del plano es determinado por un ángulo y una distancia. Se toma un punto O del plano, el origen o el polo, y una recta dirigida (o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano) como referente. Todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r se conoce como la coordenada radial y el ángulo es la coordenada angular. El origen, O, tiene de valor cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por 0,0º.

11.Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x, y, z). 

12 - Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente: 

3x-2y=4

2x+3y=33

y=7

x=6

13.Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diesel y gasolina y realiza un estudio gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el precio del coche, el del combustible y el consumo combinado).

14.Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid.

 En los primeros 5 Km hay un ascenso hasta los 720 m de altura (en este tramo tiene su máximo absoluto). En el Km 10 se produce  un descenso hasta los 680 m de altura.En el Km 15 sigue descendiendo hasta los 640 m de altura (en este tramo tiene su mínimo absoluto). En el Km 20 asciende casi  hasta los 680 m de altura. En el Km 25 asciende hasta los 720 m de altura. En el Km 30 desciende casi hasta los 680 m de altura. En el Km 35 asciende casi hasta los 720 m de altura. Y finalmente en  el km 40 desciende hasta los 680 m de altura.